유리수의 조밀성

임의의 서로 다른 두 실수 사이에 유리수가 존재합니다. 이를 유리수의 조밀성이라고 하고 본 글에서는 이것의 해석학적 접근을 소개하려 합니다.

실수와 cut

실수는 cut의 집합으로 정의할 수 있습니다. 그리고 이 cut은 사실 어떤 유리수의 집합인데, 다음 성질들을 만족해야 해요:

$\alpha \subset \mathbb{Q}$가 cut이려면

• $\alpha \ne \mathbb{Q}$이고 $ \alpha \ne \emptyset $이다.
• 모든 $x \in \alpha$에 대하여 유리수 $ y < x $일 때 $ y \in \alpha $이다.
• 모든 $x \in \alpha$에 대하여 $x<y$ 인 $y \in \alpha$가 존재함

즉 이렇게 $- \infty$부터 어떤 수까지 (열린) 범위를 cut이라고 정했어요. 그리고 이런 cut들을 다 모아놓으면 실수가 되는 것이죠. 연산도 수학자들이 잘 정의해서 우리가 아는 사칙연산이 모두 정상적으로 작동합니다.

순서 관계는 어떨까요? cut의 포함 관계를 이용해서 정의하면 우리가 아는 일반적인 순서 관계의 성질을 그대로 만족합니다. 즉, $\alpha \subseteq \beta$ 이면 그냥 $\alpha \le \beta$라고 해버리는 거에요.

\[\alpha \le \beta \quad \text{if} \quad \alpha \subseteq \beta\]

실수 안의 유리수

눈치가 빠르면 사실 $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{R}$ 임을 확인했을 거에요. 왜냐하면 cut이 $\mathbb{Q}$의 부분집합이었기 때문이죠. 그런데 유리수라는 개념은 실수에서도 중요한 역할을 합니다. 그래서 수학자들은 엄밀하게 실수 위에서 유리수를 따로 정의했어요.

\[\mathrm{For} \; q \in \mathbb{Q}, \quad q^\ast := \{ x \in \mathbb{Q} : x < q \}​\]

그러면 $q^\ast$는 cut이에요. 증명은 쉬우니까 넘어갈게요. 이렇게 생긴 애들을 싹 모아서

\[\mathbb{Q}^\ast := \{q^\ast \in \mathbb{R} : q \in \mathbb{Q} \}\]

이렇게 모아놓으면 이 $\mathbb{Q}^\ast \subseteq \mathbb{R} $은 원래 알던 유리수의 성질을 그대로 만족합니다. 앞으로도 $\mathbb{Q}$와 $\mathbb{Q} ^\ast$를 구별해서 사용한다는 점 유의해주세요.

실수 사이의 유리수

이야기가 길어졌네요. ‘주어진 서로 다른 두 실수 사이에 유리수가 존재할까?’는 실수의 정의로부터 확인됩니다.

서로 다른 실수 $\alpha, \beta $가 주어졌으면 순서 관계의 정의에 의해 $\alpha \subset \beta$입니다. 그러니까 $q \not\in \alpha$이고 $q \in \beta$인 유리수 $q\in \mathbb{Q}$가 존재한다는 거에요. 이런 $q$에 대해 $q^\ast \in \mathbb{Q}^\ast$를 생각해보면,

$q \notin \alpha$이기 때문에 모든 $a \in \alpha$에 대해 $a < q$이므로 $\alpha \subseteq q^ \ast $입니다. 만약 $ a \not< q$였다면 cut의 두 번째 조건에 의해서 모순이었겠죠?

또, $q \in \beta$이므로 $q$보다 작은 모든 유리수가 cut의 두 번째 조건에 의해 $\beta$에 들어갑니다. 따라서 $q^\ast \subset \beta$이죠. $q^\ast \ne \beta$인 이유는 $q \not\in q^\ast$이지만 $q \in \beta$이기 때문입니다.

우리는 따라서 $\alpha \subseteq q^\ast \subset \beta$를 얻어냈습니다. 하지만 ‘사이’라는 것을 보이기에는 부족하죠. $q^\ast = \alpha$이면 어떡하죠?

저도 쓰다가 당황했는데요, 그래도 상관 없는게 $\alpha < (\alpha + \beta) / 2 $를 잘 이용하면 되요. 그러니까 $\alpha, \beta$대신 $\frac {\alpha + \beta} 2 , \beta$에서 위 과정을 반복하면 또 $\frac {\alpha + \beta} 2 \subseteq p^\ast \subset \beta$를 만족하는 유리수 $p ^ \ast \in \mathbb{Q}^\ast $가 존재하기 때문에 $\alpha \subset p^\ast \subset \beta $입니다.

마치며

이 내용을 더 공부하고 싶다면 Walter Rudin의 Principle of Mathematical Analysis 1단원을 읽어보세요. 불친절하지만 많은 내용을 담고 있는 유명한 해석학 책입니다. 여기서 정의한 cut이 어떻게 실수가 되는지 더 자세하게 알 수 있을 거에요.